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2．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为$\frac{1}{3}$，乙获胜的概率为$\frac{2}{3}$，各局比赛结果相互独立．（1）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）若每局比赛胜利方得1分，对方得0分，求甲最终总得分X的分布列及数学期望．

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分析 解用A表示“乙在4局以内（含4局）赢得比赛”，Ak表示“第k局乙获胜”，Bk表示“第k局甲获胜”，（Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A1A2）+P（A1B2A3A4）利用独立重复试验的概率乘积求解即可．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3 求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：用A表示“乙在4局以内（含4局）赢得比赛”，Ak表示“第k局乙获胜”，Bk表示“第k局甲获胜”，则 （Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A1A2）+P（A1B2A3A4）=P（A1A2）+P（B1）P（A1）P（A2）+P（A1）P（B2）P（A3）P（A4）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{56}{81}$ …（4分）（Ⅱ）甲最终总得分X的可能取值为0，1，2，3 …（5分）$P（X=0）=P（{A_1}{A_2}）=\frac{2}{3}•\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$…（6分）$P（X=1）=P（{B_1}{A_2}{A_3}）+P（{A_1}{B_2}{A_3}{A_4}）=\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•\frac{2}{3}+\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•\frac{2}{3}=\frac{20}{81}$…（7分）$\begin{array}{l}P（X=2）=P（{B_1}{B_2}）+P（{A_1}{B_2}{B_2}）+P（{A_1}{B_2}{A_3}{B_4}{A_5}）+P（{B_1}{A_2}{B_3}{A_4}{A_5}）\\=\frac{1}{3}•\frac{1}{3}+\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•\frac{1}{3}+\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}+\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•\frac{2}{3}=\frac{61}{243}\end{array}$$P（X=3）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=2）=\frac{14}{243}$…（9分）故$t=\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}（t＞1）$的分布列为

X0123P$\frac{4}{9}$$\frac{20}{81}$$\frac{61}{243}$$\frac{14}{243}$∴$EX=0×\frac{4}{9}+1×\frac{20}{81}+2×\frac{61}{243}+3×\frac{14}{243}=\frac{224}{243}$…（12分）

点评 本题考查独立重复试验的概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．

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